Question

（本题12分）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

【小题1】(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
【小题2】(2)　如果抛物线的对称轴经过点C，请你探究：
①当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　．        （1分）
设点B的横坐标是x(x>0)，则，                          （2分）
解得　，(舍去)．
∴　点B的横坐标是
【小题2】(2)　①　当，，时，得　(＊)　
．                                            （5分）
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，
．             （6分）
由此，可求得点C的坐标为(，)，    （7分）
点A的坐标为(，)，
∵　A，B两点关于原点对称，
∴　点B的坐标为 (，)．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．
∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．                       　 （9分）
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，
点A的坐标为(，)，点B的坐标为
(，)．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．    （10分）
②　存在．m的值是1或-1．                                      　 （12分）
(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

解析