Question

如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，求DE和AF的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知及菱形的性质利用AAS判定△ADF∽△DEC．
（2）勾股定理求出AE，DE的长，再根据相似三角形的性质求出AF的长．

解答：（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠C=∠AFD．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
∵AD=DC，
∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，
∴BE=2，AE=2

3

，DE=

AD2+AE2

=2

7

．
∵△ADF∽△DEC，
∴

DE

AD

=

DC

AF

．
∴AF=

8 7

7

．

点评：本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，会用相似三角形对应边成比例求线段的长．