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13.设a为有理数,x为无理数,证明:(1)a+x是无理数;(2)当a≠0时,ax是无理数.

分析 利用反证法,结合任何有理数都可以表示成$\frac{q}{p}$的形式(p,q都是整数),反过来也一样,任何形如$\frac{q}{p}$(p,q都是整数)的数都是有理数,即可证明结论.

解答 证明:(1)任何有理数都可以表示成$\frac{q}{p}$的形式(p,q都是整数),反过来也一样,任何形如$\frac{q}{p}$(p,q都是整数)的数都是有理数,
∵a为有理数,
∴a=$\frac{q}{p}$.
如果a+x是有理数,那么a+x=$\frac{q′}{p′}$,x=$\frac{q′}{p′}$-a=$\frac{q′}{p′}$-$\frac{q}{p}$=$\frac{pq′-qp′}{pp′}$,
那么x是有理数,这与x为无理数矛盾,
所以a+x为无理数;

(2)如果ax是有理数,那么ax=$\frac{q′}{p′}$,x=$\frac{pq′}{qp′}$
所以x是有理数,这与x为无理数矛盾,
所以当a≠0时,ax为无理数.

点评 本题考查了反证法,考查学生分析解决问题的能力,正确运用反证法是关键.

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