Question

15．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．

（1）如图1，当AC⊥DE，且 AD=2时，求线段BC的长度；
（2）如图2，当且CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF=EG．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出BC=AC，DE=AD=2，DF=$\frac{1}{2}$DE=1，AF=CF，由勾股定理求出AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，得出AC=2AF=2$\sqrt{3}$，即可得出BC的长度；
（2）连接CE，由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，求出∠DCE=30°，由直角三角形的性质得出DE=$\frac{1}{2}$CE，由三角形中位线定理得出FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，得出FG∥DE，FG=DE，证出四边形DFGE是平行四边形，即可得出结论．

解答 （1）解：如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD=2，
∴BC=AC，DE=AD=2，DF=$\frac{1}{2}$DE=1，AF=CF，
∴AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$；
（2）证明：连接CE，如图2所示：
∵ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，
∵CD⊥BE，
∴∠DCE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CE，
∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，
∴FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴FG∥DE，FG=DE，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴DF=EG．

点评 本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是平行四边形是解决问题（2）的关键．