Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标是（-1，0），与y轴负半轴交于点C，其对称轴是直线x=，tan∠BAC=2．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）作圆O’，使它经过点A、B、C，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O’于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=ax²+bx+c的图象上是否存在点P，使得∠PDB=∠CAD？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，所以A、B一定关于对称轴x=对称，已知A的坐标，就可以求出B的坐标．Rt△OAC中根据三角函数就可以求出OA、OC的长，得到C点的坐标．利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）A、B、C三点的坐标已知，可以证明△ABC是直角三角形，因而O′是AB的中点，则坐标可以求出．易证△ABD△AOF是等腰直角三角形，就可以求出CF的长，S_△ACD=S_△ACF+S_△DCF，而△ACF中CF边上的高时A点的横坐标的绝对值，△CFD的CF边上的高是D点的横坐标的绝对值．D点的坐标容易求出，因而△ACD的面积就可以得到．
（3）抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CAD．分两种情况讨论：①过点D作直线MN∥BC，交y轴于M．易证∠BDN=∠CAD，
直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P．求出直线MN的解析式，解直线的解析式与抛物线的解析式组成的方程组就可以求出P的坐标；②过点D作∠O’DG=∠O’BC，交x轴于G点．根据同弧所对的圆周角相等，可以证得∠DO’G=∠COB，则直线DG与抛物线在D点右侧的交点即为P点．求出直线MN的解析式，解直线的解析式与抛物线的解析式组成的方程组就可以求出P的坐标；
解答：解：（1）∵A（-1，0）与点B关于直线x=对称，
∴点B坐标为（4，0）
在Rt△OAC中，tan∠BAC=，
∵AO=1
∴OC=2，
∴C（0，-2）（1分）
∴（1分）
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x²-x-2（1分）

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°（1分）
∴AB为圆O’的直径，O’点坐标为（，0），
∴∠ADB=90°
又∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=∠ECD=45°，
∴∠DAB=45°，△ADB为等腰直角三角形．
连接O’D，则DO'=AB，DO’⊥AB，
∴，D点坐标为（）（1分）
设AD与y轴交于点F，
∵∠DAB=45°，
∴OF=OA=1，
∴CF=1
作DH⊥y轴于点H，
∵D（），
∴DH=，OH=
∴S_△ACD=S_△ACF+S_△DCF=×1×1+×1×=；（1分）

（3）抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CAD．分两种情况讨论：
①过点D作直线MN∥BC，交y轴于M．
∵MN∥BC，
∴∠BDN=∠CBD，∠OCB=∠HMD
又∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BDN=∠CAD，直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P．
∵∠OCB=∠HMD，∠COB=∠MHD=90°，
∴△HDM∽△OCB，
∴
∵
∴．
设直线MD的解析式为y=mx+n
则有，
解得，
直线MD的解析式为（1分）
∴
解得（舍）
∴（1分）
②过点D作∠O’DG=∠O’BC，交x轴于G点．
∵∠O’DB=∠O’BD=45°，
∴∠GDB=∠CBD=∠CAD
即直线DG与抛物线在D点右侧的交点即为P点
又∵∠DO’G=∠COB，
∴△DO'G∽△BOC
∴
∴
∴G
设直线DG的解析式为y=px+q
则有，
解得，
∴直线DG的解析式为（1分）
∴，
解得（舍）
∴
∴符合条件的P点有两个：．（1分）
点评：此题作为压轴题，综合了两大重要知识，二次函数的和圆，难度较大，有利于使同学们养成耐心细致的学习习惯，顽强的意志品质．
命题立意：此题主要考查二次函数的解析式的求法，并将二次函数与圆相结合，综合利用二次函数及圆的有关知识．