Question

【题目】如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，AE＝CE，BC＝AC＝DC，则tan∠ABDtan∠ADB＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由BC＝AC＝DC知A、B、D在以C为圆心的圆上，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF，由圆周角定理知∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，证△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得＝、＝，从而由tan∠ABDtan∠ADB＝tan∠AFDtan∠AFB＝＝＝＝可得答案．

解：∵BC＝AC＝DC，

∴点A、B、D在以C为圆心的圆上，

如图所示，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF、

则∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，

∵∠AEB＝∠DEF、∠AED＝∠BEF，

∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，

∴、，

则tan∠ABDtan∠ADB＝tan∠AFDtan∠AFB

＝

＝

＝

＝，

设AE＝CE＝x，则AC＝CF＝2x，

∴AF＝4x，

∴EF＝AF﹣AE＝3x，

则tan∠ABDtan∠ADB＝＝，

故答案为：．