Question

如图1，在△ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED∥BC，O为DC中点，连结EO并延长交BC的延长线于点F，则有S_{四边形EBCD}=S_△EBF．

（1）如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，△MON的面积存在最小值．直接写出这个条件：

 

．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（

9

2

，

9

2

）、（4、2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
（2）①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N，由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大，S_{四边形OANM}=S_△OAD-S_△MND；
②如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，利用S_{四边形OCMN}=S_△OCT-S_△MNT，进而得出答案．

解答：解：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小；
如图2，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小；
故答案为：当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小；

（2）分两种情况：
①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N．
延长OC、AB交于点D，
∵C（

9

2

，

9

2

），
∴∠COA=45°，
∴AD=6，S_△OAD=18．
由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大．
过点P、M分别作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分别为P₁、M₁．
由题意得M₁P₁=P₁A=2，从而OM₁=MM₁=2． 又P（4，2），B（6，3）
∴P₁A=M₁P₁=O M₁=P₁P=2，M₁ M=OM=2，则四边形MM₁P₁P是正方形．
∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S_△MND=8，
∴S_{四边形OANM}=S_△OAD-S_△MND=18-8=10，

②如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N．
延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为 y=-x+9．
则T点的坐标为（9，0）．
∴S_△OCT=

1

2

×9×

9

2

=

81

4

，
由（1）的结论知：当PM=PN时，△MNT的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大．
过点P、M点分别作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足为P₁，M₁．
从而 NP₁=P₁M₁，MM₁=2PP₁=4．
∴点M的横坐标为5，点P（4、2），P₁M₁=NP₁=1，TN=6．
∴S_△MNT=

1

2

×6×4=12，S_{四边形OCMN}=S_△OCT-S_△MNT=

81

4

-12=

33

4

＜10．
综上所述：截得四边形面积的最大值为10．

点评：此题主要考查了正方形的判定与性质以及图形面积求法等知识，利用分类讨论得出四边形面积最值是解题关键．