如图.在Rt△ABC中.∠B=90°.AC=10cm.BC=6cm.现有两点P.Q分别从点A和点C同时出发.沿边AB.CB向终点B移动．其中点P.Q的速度分别为2cm/s.1cm/s.且当其中一点到达终点时.另一点也随之停止移动．设P.Q两点移动时间为x s．(1)用含x的代数式表示BQ.BP的长度.并求x的取值范围．(2)设四边形APQC的面积为y(cm2).求y与x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两点P，Q分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动．其中点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．设P，Q两点移动时间为x s．
（1）用含x的代数式表示BQ、BP的长度，并求x的取值范围．
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与x的函数关系式？
（3）是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$？如果存在，求出x的值；不存在请说明理由．

分析（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程=速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度；
（2）利用y=S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_PBQ求解即可；
（3）根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．

解答解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=6-x，PB=8-2x；

（2）由题意，得
y=S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_PBQ
=$\frac{1}{2}$AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•QB
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$（6-x）（8-2x）
=24-（x²-10x+24）
=-x²+10x；

（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$，
则-x²+10x=$\frac{1}{2}$×6×8×$\frac{2}{3}$，
解得x₁=2，x₂=8（舍去）．
假设成立，所以当x=8时，四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$．

点评本题借助动点问题考查了勾股定理，路程与速度、时间的关系，等腰三角形的性质以及不规则图形的面积计算，综合性较强．

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