Question

如图，如图正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：
①∠AFC=105°；②GH=2EF；③

2

CE=EF+EH；④

AE

EH

=

2

3

其中正确的有（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①④

D．①②③④

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质求出∠CDE，然后求出∠ADE=30°，再根据等腰三角形的性质求出∠DAE=75°，然后求出∠BAF=15°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFC=105°，判断出①正确，过点H作HK⊥AB，可得HK=AD，根据等角的余角相等求出∠BAF=∠KHG，再利用“角角边”证明△ABF和△HKG，然后根据全等三角形对应边相等可得AF=GH，再根据等边三角形的性质，点E是AF的中点，从而得到GH=2EF，判断出②正确；再求出∠CEF=∠CEH=45°，过点F作FM⊥CE于M，过点H作HN⊥CE于N，解直角三角形分别用MF、CN表示出CE，可以得到MF=CN，再表示出CE，即可判定③正确；设MF=CN=x，表示出EF、EH，然后求出

AE

EH

的值，判断出④错误．

解答：解：∵△CDE为正三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
∵AD=DE=CD，
∴∠DAE=∠DEA=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠BAF=90°-75°=15°，
∴∠AFC=90°+15°=105°，故①正确；
过点H作HK⊥AB，则HK=AD，
∵GH⊥AF，
∴∠BAF+∠AGE=90°，
又∵∠AGE+∠KHG=90°，
∴∠BAF=∠KHG，
在△ABF和△HKG中，

∠BAF=∠KHG ∠B=∠HKG=90° HK=AB

，
∴△ABF≌△HKG（AAS），
∴AF=GH，
∵△CDE为正三角形，
∴点E在CD的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理，点E是AF的中点，
∴AF=2EF，
∴GH=2EF，故②正确；
∵GH⊥AF，∠DEA=75°，
∴∠DEH=90°-75°=15°，
∴∠CEH=60°-15°=45°，
∴∠CEF=90°-45°=45°，
过点F作FM⊥CE于M，过点H作HN⊥CE于N，
则MF=EM，NH=EN，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠ECF=90°-60°=30°，
∴CM=

3

MF，NH=

3

CN，
∴CE=

3

MF+MF=

3

CN+CN，
∴MF=CN，
∴CE=

2

2

EF+

2

2

EH，
∴

2

CE=EF+EH，故③正确；

AE

EH

=

EF

EH

=

2 MF

3 CN• 2

=

3

3

，故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选A．

点评：本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．