Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让-

b

a

=0即可求得k的值．
（3）分b=c，b=a两种情况做．

解答：证明：（1）∵△=（2k-3）²≥0，
∴方程总有实根；
解：（2）∵两实数根互为相反数，
∴x₁+x₂=2k+1=0，
解得k=-0.5；
（3）①当b=c时，则△=0，
即（2k-3）²=0，
∴k=

3

2

，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不适合题意舍去；
②当b=a=4，则4²-4（2k+1）+4（k-

1

2

）=0，
∴k=

5

2

，
方程化为x²-6x+8=0，
解得x₁=4，x₂=2，
∴c=2，
C_△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C_△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．

点评：一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．