Question

已知抛物线y=ax²（a＞0）上有两点A、B，其横坐标分别为-1，2，请探求关于a的取值情况，△ABO可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流．

Answer 1

分析：先根据抛物线的解析式求出A、B两点的坐标，然后分两种情况进行讨论：
①∠AOB=90°，过A、B作x轴的垂线，设垂足为C、D，则有△ACO∽△ODB，可根据相似三角形得出的关于AC、OC、OD、BD的比例关系式求出a的值．
②∠BAO=90°，可用AB长的不同表示方法来求解．已知了AB的坐标，可用坐标系两点间的距离公式得出AB²值（也可过A作BD的垂线用勾股定理来求，道理是一样的）．然后根据∠BAO=90°，在直角三角形BOA中，用勾股定理求出AB²的值，然后让这两个表示AB²的表达式相等即可求出a的值．

解答：解：如图，A（-1，a），B（2，4a）．

（1）若∠AOB=90°．
∴∠AOC=∠OBD，
∵∠BDE=∠ACO=90°，
∴△ACO∽△ODB，

AC

OD

=

OC

BD

，

a

2

=

1

4a

．
∴4a²=2，a²=

1

2

，a=±

2

2

．
∵a＞0，
∴当a=

2

2

时，∠AOB=90°．

（2）若∠BAO=90°，过A作AE⊥BD于E，则AE=3，BE=3a．
∵OB²=AB²+OA²，
OA²=AC²+OC²=a²+1，
OB²=OD²+BD²=16a²+4，
AB²=9+9a²．
∴16a²+4=9+9a²+a²+1．
即a²=1．
∵a＞0，
∴a=1．
当a=1时，∠OAB=90°，
即△ABO为直角三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识点．