已知抛物线y=ax2(a>0)上有两点A、B,其横坐标分别为-1,2,请探求关于a的取值情况,△ABO可能是直角三角形吗?不能,说明理由;能是直角三角形,写出探求过程,并与同伴交流.
分析:先根据抛物线的解析式求出A、B两点的坐标,然后分两种情况进行讨论:
①∠AOB=90°,过A、B作x轴的垂线,设垂足为C、D,则有△ACO∽△ODB,可根据相似三角形得出的关于AC、OC、OD、BD的比例关系式求出a的值.
②∠BAO=90°,可用AB长的不同表示方法来求解.已知了AB的坐标,可用坐标系两点间的距离公式得出AB2值(也可过A作BD的垂线用勾股定理来求,道理是一样的).然后根据∠BAO=90°,在直角三角形BOA中,用勾股定理求出AB2的值,然后让这两个表示AB2的表达式相等即可求出a的值.
解答:
解:如图,A(-1,a),B(2,4a).
(1)若∠AOB=90°.
∴∠AOC=∠OBD,
∵∠BDE=∠ACO=90°,
∴△ACO∽△ODB,
=,
=.
∴4a
2=2,a
2=
,a=±
.
∵a>0,
∴当a=
时,∠AOB=90°.
(2)若∠BAO=90°,过A作AE⊥BD于E,则AE=3,BE=3a.
∵OB
2=AB
2+OA
2,
OA
2=AC
2+OC
2=a
2+1,
OB
2=OD
2+BD
2=16a
2+4,
AB
2=9+9a
2.
∴16a
2+4=9+9a
2+a
2+1.
即a
2=1.
∵a>0,
∴a=1.
当a=1时,∠OAB=90°,
即△ABO为直角三角形.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识点.