Question

某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x-h）²+k，二次函数y=a（x-h）²+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为-16、20．
（1）试确定函数关系式y=a（x-h）²+k；
（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；
（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

Answer 1

解：（1）根据题意可设：y=a（x-4）²-16，
当x=10时，y=20，
所以a（10-4）²-16=20，解得a=1，
所求函数关系式为：y=（x-4）²-16．-------（4分）
（2）当x=9时，y=（9-4）²-16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，
又由题意可知，当x=10时，y=20，而20-9=11，
所以10月份一个月内所获得的利润11万元．---------（4分）
（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）
则有：s=（n-4）²-16-[（n-1-4）²-16]=2n-9，
因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，
而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，
所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．--（4分）
分析：（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，-16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；
（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．
（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x-1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．
点评：本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．