Question

9．（1）如图①，若点P在c₁上，PE⊥x轴于点E，交c₂于点A，PD⊥y轴于点D，交c₂于点B，则S_{四边形PAOB}=k₁-k₂
（2）如图②，若过O点作两直线分别交c₁、c₂于A、B两点和C、D两点，则$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$．AB∥CD
（3）如图③，若一条直线与c₁、c₂分别交于A、B两点和C、D两点，则AC=BD．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的几何意义可知S_矩形PDOE=k₁，S_△BDO=S_△OAE=$\frac{1}{2}$k₂，再根据S_{四边形PAOB}=S_矩形PDOE-S_△BDO-S_△OAE即可证明．
（2）设直线OA的解析式为y=mx，列方程组求出点A、C的坐标，求出OA：OC，同理可得OD：OB，由此即可解决问题．
（3）如图③中，由此AB、BA分别交x轴、y轴于Q、P．作AM⊥OQ于M，AN⊥OP于N，BE⊥OQ于E，BF⊥OP于F．AM交BF于T．由S_矩形AMON=S_矩形BEOF，推出S_矩形ATFN=S_矩形BEMT，推出AT•FT=TM•TB，推出$\frac{AT}{TB}$=$\frac{TM}{AT}$，由∠MTF=∠ATB，推出△ATB∽△MTN，推出∠ABT=∠MFT，推出FM∥PQ，推出四边形APFM、S四边形BQMF都是平行四边形，推出PA=FM=BQ，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）如图①中，

∵P在反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上，PDOE是矩形，
∴S_矩形PDOE=k₁，
∵B、D在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，BD⊥y轴，AE⊥x轴，
∴S_△BDO=S_△OAE=$\frac{1}{2}$k₂，
∴S_{四边形PAOB}=S_矩形PDOE-S_△BDO-S_△OAE=k₁-k₂．

（2）如图$②\\;中$，设直线OA的解析式为y=mx，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{y=\frac{{k}_{1}}{x}}\end{array}\right.$，可得点A（$\sqrt{\frac{{k}_{1}}{m}}$，$\sqrt{m{k}_{1}}$），同理可得C（$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{m}}$，$\sqrt{m{k}_{2}}$），
∴$\frac{OC}{AO}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$，同理可得$\frac{OD}{OB}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴CD∥AB．

（3）如图③中，由此AB、BA分别交x轴、y轴于Q、P．作AM⊥OQ于M，AN⊥OP于N，BE⊥OQ于E，BF⊥OP于F．AM交BF于T．

∵S_矩形AMON=S_矩形BEOF，
∴S_矩形ATFN=S_矩形BEMT，
∴AT•FT=TM•TB，
∴$\frac{AT}{TB}$=$\frac{TM}{AT}$，∵∠MTF=∠ATB，
∴△ATB∽△MTN，
∴∠ABT=∠MFT，
∴FM∥PQ，
∵AM∥OP，FB∥OQ，
∴四边形APFM、S四边形BQMF都是平行四边形，
∴PA=FM=BQ，
∴PA=BQ，同理可证CP=DQ，
∴AP-CP=BQ-DQ，
即AC=BD．

点评 本题考查相似综合题、反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．