Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若∠C=70°，求∠AFD的度数
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？为什么？
（3）在（2）的基础上，△ABC还需满足什么条件才能使四边形AEDF为正方形？为什么？

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形，
又F为斜边AC的中点，
∴AF=CF=DF=AC，
∴∠FDC=∠C，又∠C=70°
∴∠FDC=∠C=70°，
又∠AFD为△FDC的外角，
∴∠AFD=∠FDC+∠C=140°；
（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AEDF为菱形，理由如下：
证明：∵AB=AC，且AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又F为AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=AB，DF∥AB，
又E为AB的中点，∴AE=AB，
∴DF=AE，且DF∥AE，
∴四边形AEDF为平行四边形，
同理DE为△ABC的中位线，
∴DE=AC，又AB=AC，
∴DE=DF，
则四边形AEDF为菱形；
（3）△ABC需满足AB=AC，再加上∠BAC=90°，可使四边形AEDF为正方形，理由如下：
证明：∵AB=AC，且AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又F为AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=AB，DF∥AB，
又E为AB的中点，∴AE=AB，
∴DF=AE，且DF∥AE，
∴四边形AEDF为平行四边形，
同理DE为△ABC的中位线，
∴DE=AC，又AB=AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
又∠BAC=90°，
∴四边形AEDF为正方形．
分析：（1）由AD垂直于BC，根据垂直定义得到∠ADC=90°，即三角形ADC为直角三角形，又F为AC的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可得DF等于AC的一半，再根据中点定义得到AF与CF相等，且都等于AC的一半，等量代换可得DF=CF，根据等边对等角得到∠FDC=∠C，由∠C的度数求出∠FDC的度数，由∠AFD为三角形FDC的外角，根据外角性质即可求出所求角的度数；
（2）三角形ABC满足AB=AC时，四边形AEDF为菱形，理由为：由AB=AC，且AD与BC垂直，根据三线合一得到D为BC的中点，又F为中点，可得DF为三角形ABC的中位线，可得DF与AB平行，且等于AB的一半，又AE也为AB的一半，等量代换可得AE=DF，又AE与DF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，再由DE也为三角形ABC的中位线，可得ED等于AC的一半，由AB=AC，等量代换可得DE=DF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得AEDF为菱形；
（3）由第二问三角形ABC满足AB=AC，得到AEDF为菱形，再加上∠BAC=90°，根据有一个角为直角的菱形为正方形可得AEDF为正方形．
点评：此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，平行四边形、菱形及正方形的判定，以及三角形的外角性质，属于条件探究型题，解答此类题应采用“逆向思维”，视结论为题设，寻求必要条件，往往缺少的就是那个条件．