Question

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁，h₂，h₃，△ABC的高为h．回答以下问题：
（1）如图（1），若点P在一边BC上，此时h₃=0，可得结论

 

（结论用h₁，h₂，h₃，h的关系式表示）
（2）如图（2），当点P在△ABC内，此时可得结论

 

（结论用h₁，h₂，h₃，h的关系式表示）
（3）如图（3），当点P在△ABC外，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h₁，h₂，h₃和h之间又有怎样的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,三角形的面积

专题：几何图形问题,探究型

分析：（1）连接AP，根据S_△ABC=S_△ABP+S_△APC可知

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF，再把AB=BC=AC及AM=h，PD=h₁，PF=h₂，代入即可得出结论；
（2）连接AP、BP、CP，根据S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP即可得出结论；
（3）连接PB，PC，PA，由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，再由AB=BC=AC即可得出结论．

解答：解：（1）h=h₁+h₂，理由如下：
连接AP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．
故答案为：h=h₁+h₂．


（2）h=h₁+h₂+h₃ ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PE
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂₊

1

2

BC•h₃
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．
故答案为：h=h₁+h₂+h₃；

（3）h=h₁+h₂-h₃．
当点P在△ABC外时，结论h₁+h₂+h₃=h不成立．此时，它们的关系是h₁+h₂-h₃=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．