Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x²﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标．
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）C（0，12）。
（2）。
（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，
点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长，证△AOC∽△COB，推出OC²=OA•OB，即可得出答案。
解x²﹣25x+144=0得x=9或x=16，
∵OA、OB的长分别是一元二次方程x²﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），
∴OA=9，OB=16。
在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACO=∠CBA。
∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB。∴OC²=OA•OB。∴OC=12，
∴C（0，12）。
（2）应用相似三角形求得点D 的坐标，应用待定系数法即可求得直线AD的解析式。
在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。
∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。
又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。
∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。
∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。
∴，即，解得。
∴D（6，）。
设直线AD的解析式是y=kx+b，
将A（﹣9，0）和D（6，）代入得：
，解得。
∴直线AD的解析式是：。
（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形。
① 以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个，

BQ=CQ=BC=10，
∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，
∴△BQF∽△BOC。∴。
∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF=。
∴OF=16﹣=。∴F（，0）。
∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，∴Q（8，6）。
设直线QF的解析式是y=ax+c，
代入得：，解得。
∴直线FQ的解析式是：。
设M的坐标是（x，），
根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）²+（﹣12）²=（x﹣16）²+（﹣0）²，
解得x₁=14，x₂=2。
∴M的坐标是（14，14），（2，﹣2）。
②以BC为一边时，过B作BM₃⊥BC，且BM₃=BC=20，过M₃Q⊥OB于Q，还有一点M₄，CM₄=BC=20，CM₄⊥BC，

则∠COB=∠M₃B=∠CBM₃=90°。
∴∠BCO+∠CBO=90°，
∠CBO+∠M₃BQ=90°。
∴∠BCO=∠M₃BQ。
∵在△BCO和△M₃BQ中，
，
∴△BCO≌△M₃BQ（AAS）。
∴BQ=CO=12，QM₃=OB=16，
OQ=16+12=28，
∴M₃的坐标是（28，16）。
同法可求出CT=OB=16，M₄T=OC=12，OT=16﹣12=4，
∴M₄的坐标是（﹣12，﹣4）。
综上所述，存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，
点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。