Question

如图，A、B、C、D是圆周上的四个点，

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是

 

（结果保留三个有效数字）．

Answer 1

分析：易得弧AB，CD是一个半圆弧，我们将C点转到与A点重合处，那么O、B、D′就在一条直线上，而且是一直径，所以阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积，然后依面积公式计算即可．

解答：
解：∵

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，
∴弧AB，CD就是一个半圆弧，
则B、O、D′就在一条直线上，而且BD′是一直径，
∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD，
∴AD′=CD=4，
在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′=

82+42

=4

5

，
∴OB=2

5

，
∴阴影部分的面积=

1

2

S_⊙O-S_△D′AB
=π×（2

5

）²×

1

2

-

1

2

×4×8
=15.4．

点评：本题的关键是作辅助线，从图中看出阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积．