Question

16．如图，△ABC，分别以它的斜边AB、直角边AC向外作等边三角形△ABE、等边三角形△ACD，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）如图1，求证：四边形ADFE是平行四边形．
（2）连接BD、CE交于点G，如图2，找出图中与BD相等的线段，并证明．
（3）求图2中∠CGD的度数．

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC=60°，根据等边三角形的性质得出等边三角形，∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，根据AAS推出Rt△ABC≌Rt△AEF，根据全等得出EF=AC=AD，求出∠DAB=∠AFE，推出AD∥EF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠EBC=∠BFD=120°，由AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=BC及DF=AE=BE可证得△EBC≌△DFB，即可得BD=CE；
（3）由△EBC≌△DFB推出∠BEC=∠BDF，求出∠EGD=120°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ACD、△ABE是等边三角形，
∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，
∵EF⊥AB，即∠AFE=90°，
∴△AEF是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠FAE=∠ABC}\\{∠AFE=∠ACB=90°}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AEF（AAS），
∴EF=AC=AD，
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°，
∴∠DAB=∠AFE，
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形；

（2）BD=CE，
∵四边形AEFD是平行四边形，∠AEF=30°，
∴∠ADF=∠AEF=30°，
∵△ADC是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∵∠CAB=30°，
∴∠DAF=60°+30°=90°，
∴∠BFD=∠DAF+∠ADF=120°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∴∠EBC=60°+60°=120°，
∴∠EBC=∠BFD，
∵四边形AEFD是平行四边形，△ABE和△ADC是等边三角形，
∴AE=BE=DF，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=BC，
在△EBC和△DFB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBC=∠DFB}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DFB（SAS），
∴BD=CE；

（3）∵△EBC≌△DFB，
∴∠BEC=∠BDF，
∴∠EGD=360°-∠EAD-∠ADF-∠BDF-∠AEF-∠CEF
=360°-∠EAD-∠ADF-∠BEC-∠AEF-∠CEF
=360°-∠EAD-∠ADF-∠AEF-∠BEF
=360°-（60°+30°+60°）-30°-30°-30°
=120°，
∴∠CGD=60°．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．