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【题目】如图,等边AOB的边长为4,点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,点C随点P的运动而运动,连接CPCA.在点POA运动的过程中,当PCA为直角三角形时t的值为___________.

【答案】2或

【解析】如图(1)过点P作PDOB于点D,过C作CE⊥OA于E,∴∠PDO=∠PEC=90°,

∵∠O=60°∴∠OPD=30°OD=tBD=4-tPD=t

∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,

∴∠BPC=60°,BP=2PC,∵∠OPD=30°,

∴∠BPD+∠CPE=90°,∴∠DBP=∠CPE,

∴△PCE∽△BPD,

CE=tPE=2-tOE=2+t

如图(2)当∠PCA=90度时,作CF⊥PA,∴△PCF∽△ACF,∴PCF∽△ACFCF2=PFAF

PF=2-tAF=4-OF=2-t CF=t

t2=2-t)(=2-t),

∴t=2,这时P是OA的中点

如图(3)当∠CAP=90°时,此时OA=OE,

2+t=4t=

故答案为:2或.

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(1)

(2).

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