Question

把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
（3）请你：
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？

Answer 1

分析：（1）可证∠BAD=∠CAE，运用SAS证明△ABD与△ACE全等；
（2）根据SAS证明△ABD与△ACE全等，得BD=CE；∠ADB=∠AEC．根据三角形内角和定理证明∠CFD=∠CAE=90°可判断位置关系；
（3）当△ABC绕点A旋转与△ADE重叠时结论仍成立．

解答：解：（1）△ABD≌△ACE．（1分）
∵△ABC是直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．（1分）
同理 AD=AE，∠EAD=90°．（1分）
∴∠BAC=∠EAD．
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD．
即∠BAD=∠CAE．（1分）
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE．

（2）在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE．
∴∠ADB=∠AEC．（全等三角形对应角相等）（1分）
∵∠ACE=∠DCF，（对顶角相等）
∠ADB+∠DCF+∠EFD=180°，（三角形内角和180°）
∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，（三角形内角和180°）（1分）
∴∠EAC=∠EFD．（1分）
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC=90°．
即∠EFD=90°．
∴BD⊥EC．（垂直定义）（1分）

（3）①如图：（1分）
②BD=EC，BD⊥EC．（2分）
③存在．（1分）

点评：此题考查全等三角形的判定和垂直的定义，把实际问题抽象成数学模型是难点．