Question

14．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系AM=AB；
（2）方法迁移：

如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：∠B+∠D=180°．

Answer 1

分析 （1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）作出∠4=∠1，利用已知得出∠GAF=∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
（3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案．

解答 解：（1）根据图形可知，∠GAF=∠EAF，
根据三角形全等的条件可知，△GAF≌△EAF，
根据全等三角形的对应高相等可知AM=AB；
（2）证明：如图②，

延长CE，作∠4=∠1，
∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为BC，DC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠1+∠2=∠3+∠5，
∠2+∠3=∠1+∠5，
∵∠4=∠1，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
∴∠GAE=∠FAE，
在△AGB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠1}\\{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AFD（ASA），
∴AG=AF，BG=DF，
在△AGE和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE=EF，
∴DE+BF=EF，
∵全等三角形的对应高相等，
∴AM=AB；
（3）如图③，

当∠ABQ=∠ADF时，△ABQ≌△ADF，
∴BQ=DF，可得DF+BE=EF，
∴当∠B+∠D=180°时，可使得DF+BE=EF．

点评 此题考查四边形综合题，利用全等三角形的判定以，折叠的性质和旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键．