Question

如图，将一张边长为a、b（a＞b）的矩形纸片ABCD折叠．使点C与点A重合，则折痕EF的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连结AE，根据折叠的性质得到EF垂直平分AC，即OA=OC，∠AOE=90°，则EA=EC，设AE=x，则EC=x，BE=BC-x=a-x，在Rt△ABE中根据勾股定理可计算出x，在Rt△ABC中根据勾股定理可计算出AC，在Rt△AOE中利用勾股定理可计算出OE；易证得△AOF≌△COE，得到OE=OF，则EF=2OE．

解答：解：如图，连结AE，
∵矩形折叠后点C与点A重合，
∴EF垂直平分AC，即OA=OC，∠AOE=90°，
∴EA=EC，
设AE=x，则EC=x，BE=BC-x=a-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即b²+（a-x）²=x²，
解得x=

a2+b2

2a

，
在Rt△ABC中，AC=

a2+b2

，
∴OA=

a2+b2

2

，
在Rt△AOE中，OE=

AE2-OA2

=

b a2+b2

2a

，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO  ∠AOF=∠COE  OA=OC

，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF，
∴EF=2OF=

b a2+b2

a

．
故答案为：

b a2+b2

a

．

点评：本题考查折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．注意折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．注意掌握数形结合思想的应用．