Question

6．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，DN=CN，AM=BM，DC=5，AB=11，∠A+∠B=90°，则MN=3．

Answer 1

分析 解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形及平行四边形．利用直角三角形的性质以及平行四边形的性质解答．

解答 解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，
∴CD=BE=5，AE=AB-BE=11-5=6
∵M为AB的中点
∴MB=AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×11=5.5，ME=MB-BE=5.5-5=0.5
∵N为DC的中点
∴DN=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$×5=2.5
在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，
所以FM=DN=2.5
故FE=FM+ME=2.5+0.5=3=$\frac{1}{2}$AE
故F为AE的中点．
又∵DE∥BC
∴∠B=∠AED
∵∠A+∠B=90°
∴∠A+∠AED=90°
故∠ADE=90°
即△ADE是直角三角形
∴DF=MN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×6=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了梯形及平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握各性质定理是解题的关键．