Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；

（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OA，

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠2．

∵DA平分∠BDE，

∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴OA∥DE．

∴∠OAE+∠AED=180°，

∵AE⊥CD，

∴

∴∠OAE＝90°，

即OA⊥AE．

又∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°．

∵∠AED＝90°，

∴∠BAD＝∠AED，

又∵∠2＝∠3，

∴．

∴

∵BA＝6，AE＝3，

∴BD＝2AD，

∴∠ABD＝30°，

由

∴BD＝，

延长AO交BC于H，

则四边形AHCE是矩形，

∴∠AHC＝90°，CH＝AE＝3，

∴BC＝2CH＝6，

∴cos∠CBD＝

∴∠CBD＝30°，

∴∠COD＝∠AOD＝60°，

由阴影部分面积＝

∴阴影部分面积＝