Question

如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．若P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间．
（1）当t=5时，△PAQ的面积=

25

cm²；
（2）当t=

10

3

时，△PAQ是等腰直角三角形；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的△PAQ与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）当t=5时，AQ=BC-5=10-5=5，AP=2×5=10，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据AQ=AP时△PAQ是等腰直角三角形即可得出t的值；
（3）若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况：
①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；
②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC．

解答：解：（1）∵AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，
∴当t=5时，AQ=BC-5=10-5=5，AP=2×5=10，
∴S_△PAQ=

1

2

×AP×AQ=

1

2

×10×5=25cm²．
故答案为：25；

（2）∵AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，
∴AQ=10-t，AP=2t，
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴10-t=2t，解得t=

10

3

s．
故答案为：

10

3

；

（3）∵以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，
①当△ABC∽△PAQ时，

AB

AP

=

BC

AQ

，即

15

2t

=

10

10-t

，
解得：t=

30

7

；
②当△ABC∽△QAP时，

BC

AP

=

AB

AQ

，

10

2t

=

15

10-t

，解得t=

5

2

．
故当t=

30

7

s或t=

5

2

s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质等知识，难度适中．