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已知抛物线y=4x2-7x+4与直线y=x+b相交于A、B两点.
(1)求b的取值范围;
(2)当AB=2时,求b的值;
(3)设坐标原点为O,在(2)的条件下,求△AOB的面积.
(1)根据题意,得4x2-7x+4=x+b.(1分)
整理,得4x2-8x+(4-b)=0.(2分)
∵抛物线与直线有两个交点,
∴△=(-8)2-16(4-b)=16b>0.
∴b>0(3分).

(2)不妨设A(x1,y1)B(x2,y2),x1<x2,如图
∵x1、x2是方程4x2-8x+(4-b)=0的两根
x1+x2=2,x1x2=
4-b
4
(4分)
|x2-x1|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
22-(4-b)
=
b
(5分)
∴y1=x1+b,y2=x2+b
∴y2-y1=x2-x1(6分)
AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
2
|x2-x1|=
2b
=2

∴b=2.(7分)

(3)由(2)可知,直线的解析式为y=x+2,设直线与y轴交于C点,
则C点的坐标为(0,2),OC=2,易知x2>x1>0.
S△AOC=
1
2
OC•x1
S△BOC=
1
2
OC•x2
(8分)
S△AOB=S△BOC-S△AOC=
1
2
OC•(x2-x1)
(9分)
=
1
2
×2|x2-x1|=|x2-x1|=
b

S△AOB=
2
(10分).
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,已知直线y=-
1
2
x与抛物线y=-
1
4
x2+6交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求线段AB的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.

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在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点,若BC=10,梯形OABC的面积为18.
(1)求抛物线解析式;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)如图3,设图1中点D坐标为(1,3),M为抛物线的顶点,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数的顶点C的横坐标为1,一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点,且A点在y轴上,以C为圆心,CA为半径的⊙C与x轴相切,
(1)求二次函数的解析式;
(2)若B点的横坐标为3,过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l,判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系;
(3)在满足(2)的条件下,把二次函数的图象向右平移7个单位,向下平移t个单位(t>2)的图象与x轴交于E、F两点,当t为何值时,过B、E、F三点的圆的面积最小?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=10,点P在矩形的边DC上由D向C运动.沿直线AP翻折△ADP,形成如下四种情形.设DP=x,△ADP和矩形重叠部分(阴影)的面积为y.

(1)如图丁,当点P运动到与C重合时,求重叠部分的面积y;
(2)如图乙,当点P运动到何处时,翻折△ADP后,点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y等于多少?
(3)阅读材料:已知锐角α≠45°,tan2α是角2α的正切值,它可以用角α的正切值tanα来表示,即tan2α=
2tanα
1-(tanα)2
(α≠45°).根据上述阅读材料,求出用x表示y的解析式,并指出x的取值范围.
(提示:在图丙中可设∠DAP=a)

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某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光面积最大,最大面积是多少?

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草莓是对蔷薇科草莓属植物的通称,属多年生草本植物,草莓的外观呈心形,鲜美红嫩,果肉多汁,含有特殊的浓郁水果芳香,草莓营养价值高,含丰富维生素C,有帮助消化的功效,与此同时,草莓还可以巩固齿龈,清新口气,润泽喉部.我市某草莓种植基地去年第x个月种植草莓的亩数y(亩),与x(1≤x≤12,且x为整数)之间的函数关系如表:
月份x123456789101112
13种植某数y6810121416161616161616
每亩收益z(元)与月份x(月)(1≤x≤12,且x为整数)之间存在如图所示的变化趋势:
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出z与x之间满足的函数关系式;
(2)该草莓种植基地在去年哪个月的总收益最大,求出这个最大收益;
(3)今年1月份,该草莓种植基地加大规模,种植草莓比去年12月份多4亩,每亩收益比去年12月份多a%,今年2月份,该草莓种植基地继续加大规模,种植草莓比今年1月份多2a%,每亩收益比今年1月份多6元,若今年2月份该草莓种植基地总收益为672元,请你参考以下数据,通过计算估算出a的整数值.(参考数据:
63
=7.94,
65
=8.06,
66
=8.12)

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