Question

8．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究$\frac{CQ}{RQ}$是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行线分线段成比例定理的推论可知Rt△AQM∽Rt△ACF，那么可得比例线段，从而求出QM；
（2）由于∠DCA为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，可得DE+CP=CD，从而可求t；②当∠PQC=90°时，如备用图1，容易证出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例线段，结合EQ=EM-QM=4-2t，可求t；
（3）$\frac{CQ}{RQ}$为定值．当t＞2时，如备用图2，先证明四边形AMQP为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△CRQ∽△CAB，再利用比例线段可求$\frac{CQ}{RQ}$．

解答 解：（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形．
∴CF=4，AF=2，
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，
∴$\frac{QM}{AM}$=$\frac{CF}{AF}$，
即$\frac{QM}{0.5}$=$\frac{4}{2}$，
∴QM=1；

（2）∵∠DCA为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2内，
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴$\frac{EQ}{PE}$=$\frac{MA}{QM}$，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴$\frac{4-2t}{2t-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{5}{3}$，在0＜t＜2内；
综上所述，t=1或$\frac{5}{3}$；

（3）$\frac{CQ}{RQ}$为定值．
当t＞2时，如备用图2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四边形AMQP为矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴$\frac{CQ}{RQ}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}}{AB}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键．