Question

如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE=

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∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考点：平行四边形的性质,三角形中位线定理

专题：

分析：根据平行四边形的性质可得∠ADB=∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=

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∠OBC，进而得到∠OBE=

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∠ADO；首先证明EG=

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AB，再根据三角形中位线的性质可得EF=

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CD，进而得到EG=EF；证明EF∥AB，根据平行线的性质可得∠EFG=∠AGF，再根据等边对等角可得∠EFG=∠EGF，进而得到∠EGF=∠AGF．利用反证法证明，假设EF⊥GE可证明出E与O重合，与题目条件矛盾．

解答：解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，DO=BO=

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BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE=

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∠OBC，
∴∠OBE=

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∠ADO，故①正确；
②∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=

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AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=

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CD，
∴EG=EF，故②正确；
③∵EF∥DC，DC∥AB，
∴EF∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠AGF，
∴GF平分∠AGE，故③正确；
④如果EF⊥EG，
则∠FEG=90°，
∵EF∥AB∥CD，
∴∠AGE=90°，
∴?ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴GE∥AD，
∵G为AB中点，
∴E也应是AC中点，即C与O重合，
与题目条件E是OC中点互相矛盾，故④错误；
故选：A．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．