Question

【题目】已知：如图，是的直径，是的弦，为上一点，过点作，交弦于点，交于点，且．

求证：是的切线；

如果，，，求半径的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等边对等角得到两对角相等，根据DM垂直于AC，得到一对角互余，等量代换得到∠OCD=90°，即可得到DC为圆O的切线；

（2）过D作DG垂直于AC，连接CB，利用三线合一得到G为CE中点，由CE长求出EG长，利用对顶角相等得到∠DEG=∠AEM，确定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，再利用勾股定理求出DG的长，由DM-DE求出EM的长，由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形AEM与三角形DEG相似，由相似得比例求出AM与AE的长，AE+EC求出AC的长，由AB为圆的直径，得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义表示出cosA，即可求出AB的长，进而确定出圆的半径.

证明：如图，连结，

∵，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∴是的切线；

如图所示，过作，连接，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴，，

∴，

∵为圆的直径，

∴，

∴，

∴，

则圆的半径为．