Question

5．若点A（3，3 ）是正比例函数y=x上一点，点M（m，0）与点N（0，n）分别在x轴与y轴上，且∠MAN=90°．

（1）如图1，当N点与原点O重合，求M点的坐标；
（2）如图2，已知m，n都为正数，连接MN，若MN=$\sqrt{30}$，求△MON的面积．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥x轴于D，由点A的坐标即可得出AD=OD=3，进而得出∠AOD=∠OAD=45°，再通过角的计算得出∠AMO=45°，从而得出AO=AM，根据等腰三角形的性质即可得出OM=2OD，由此即可得出点M的坐标；
（2）过点A作AQ⊥x轴于Q，作AP⊥y轴于P，由点A的坐标结合矩形的性质即可得出四边形APOQ是正方形，根据正方形的性质找出AP=AQ，再根据全等三角形的判定定理（ASA）即可证出△APN≌△AQM，从而得出PN=QM，通过边与边之间的关系结合勾股定理即可得出mn的值，将其代入三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）当N点与原点O重合时，过点A作AD⊥x轴于D，如图3所示．
∵A（3，3），
∴AD=OD=3，
∴∠AOD=∠OAD=45°．
又∵∠MAN=90°，
∴∠AMO=90°-45°=45°，
∴AO=AM，
∴OM=2OD=6，
∴M点坐标为（6，0）．
（2）过点A作AQ⊥x轴于Q，作AP⊥y轴于P，如图4所示．
则∠APO=∠AQO=90°，
又∵∠POQ=90°，
∴四边形APOQ是矩形，
∵A（3，3），
∴OP=OQ=3，
∴四边形APOQ是正方形，
∴AP=AQ．
∵∠PAN+∠NAQ=90°，∠QAM+∠NAQ=90°，
∴∠PAN=∠QAM．
在△APN和△AQM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APN=∠AQM=90°}\\{AP=AQ}\\{∠PAN=∠QAM}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△AQM（ASA），
∴PN=QM．
∵M （m，0），N （0，n），
∴ON=n，OM=m，
∴PN=3-n，QM=m-3，
∴3-n=m-3，即m+n=6．
在Rt△MON中，OM²+ON²=MN²，
∴${m^2}+{n^2}={（\sqrt{30}）^2}$，即m²+n²=30．
∵（m+n）²=m²+2mn+n²，
∴6²=30+2mn，即mn=3，
∴${S_{△MON}}=\frac{1}{2}mn=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出AO=AM以及OD的长度；（2）求出mn的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据矩形（正方形或全等三角形）的性质找出相等的边角关系是关键．