Question

19．如图，直线l过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax²相交于B，C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线l和抛物线的函数解析式．
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得S_△AOD=S_△OBC，求D点坐标．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求直线AB的解析式为y=-x+2；然后把B（1，1）代入y=ax²得a=1，从而得到抛物线解析式；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设D（t，t²）（t＞0），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2•t²=3，然后解出t的值即可得到D点坐标；
（3）需要分类讨论：OC=OP，OC=PC，OP=PC，利用线段的长度来求点的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（2，0），B（1，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-x+2；
把B（1，1）代入y=ax²得a=1，
所以抛物线解析式为y=x²；

（2）S_△COB=S_△COA-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=3．
设D（t，t²）（t＞0），
∵S_△AOD=S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$•2•t²=3，解得t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴D（$\sqrt{3}$，3）．

（3）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即直线y=-x+2与抛物线y=x²的两个交点的坐标是C（-2，4）、B（1，1）．
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
①当OC=OP=2$\sqrt{5}$时，P₁（-2$\sqrt{5}$，0），P₂（2$\sqrt{5}$，0）；
②当OC=PC=2$\sqrt{5}$时，P₃（-4，0）；
③当OP=PC时，点P是线段OC的垂直平分线与x轴的交点．
∵C（-2，4），
∴OC中点D的坐标是（-1，2），
∴直线PD的解析式为：y=x+3，
则易得P₄（-3，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：P₁（-2$\sqrt{5}$，0），P₂（2$\sqrt{5}$，0），P₃（-4，0），P₄（-3，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了待定系数法求一次函数解析式．