Question

19、如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC、DE把它分成的四部分的面积分别为S₁S₂S₃S₄，下面结论：
①只有一对相似三角形
②EF：ED=1：2
③S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5
其中正确的结论是（　　）

A、①③

B、③

C、①

D、①②

Answer 1

分析：可知四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，得到△AEF∽△CDF，且三角形的相似比是1：2，因而EF：FD=1：2，则EF：ED=1：3；且△ABC∽△CDA，S₁：S₃=1：4，且△AEF与△AED同底，高的比是1：3，则S₂=2S₁，同理S₄=5S₁∴S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5．

解答：解：①有两对相似三角形：
△AEF∽△CDF，△ABC∽△CDA，故该选项错误；
②∵AB∥CD，
∴AE：CD=EF：FD=1：2，故该选项错误；
③∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
S₁：S₃=1：4，
又∵△AEF与△AED同底，高的比是1：3，
∴则S₂=2S₁
同理S₄=5S₁
∴S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5，
故该选项正确．故选B．

点评：本题运用了相似三角形的判定方法，及三角形相似的性质，面积的比等于相似比的平方．