Question

13．如图，矩形纸片ABCD的边AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），现将△ABP沿AP翻折，得到△AFP，再在CD边上选择适当的点E，将△PCE沿PE翻折，得到△PME，且直线PF、PM重合，若点F落在矩形纸片的内部，则CE的最大值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设CE=y，PB=x，由△ABP∽△PCE，得$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{EC}$，由此构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

解答 解：设CE=y，PB=x，
∵∠APB=∠APF，∠EPF=∠EPC，
∵2∠APF+2∠EPF=180°，
∴∠APF+∠EPF=90°，
∴∠APE=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{EC}$，
∴$\frac{3}{4-x}$=$\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$（x²-4x）=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$，
∴x=2时，y有最大值，最大值为$\frac{4}{3}$．
故答案为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．