Question

1．若a、b是有理数，试求当b为何值时，关于x的一元二次方程x²+3（a-1）x+（2a²+a+b）=0的根为有理数？

Answer 1

分析 由关于x的一元二次方程x²+3（a-1）x+（2a²+a+b）=0的根为有理数，于是得到△=[3（a-1）]²-4（2a²+a+b）=a²-22a+9-4b是完全平方数，得到关于b的方程，解得即可．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²+3（a-1）x+（2a²+a+b）=0的根为有理数，
∴△=[3（a-1）]²-4（2a²+a+b）=a²-22a+9-4b是完全平方数，
∴9-4b=（$\frac{22}{2}$）²，
解得：b=-28．
∴当b为-28时，关于x的一元二次方程x²+3（a-1）x+（2a²+a+b）=0的根为有理数．

点评 本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．