Question

18．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若D是BC的中点，则图中FB和AD有怎样的位置关系和数量关系，并请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等；
（2）由全等三角形的性质得出FA=DC，证出FA=BD，证明四边形AFBD是平行四边形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}&{\;}\\{∠AEF=∠DEC}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）解：若D是BC的中点，则图中的FB和AD平行且相等． 理由如下：
由（1）知△AEF≌△DEC，
∴FA=DC，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴FA=BD，
∵AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴FB∥AD，且FB=AD．

点评 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．