Question

如图，二次函数y=-

1

2

x²+mx+n的图象与y轴交于点N，其顶点M在直线y=-

3

2

x上运动，O为坐标原点．

（1）当m=-2时，求点N的坐标；
（2）当△MON为直角三角形时，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），当抛物线y=-

1

2

x²+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=-

1

2

（x-m）²+

1

2

m²+n，
∴抛物线顶点M坐标为：（m，

1

2

m²+n），
∵顶点在直线y=-

3

2

x上，
∴

1

2

m²+n=-

3

2

m，
当m=-2时，n=1，
∴点N的坐标为：（0，1）；

（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，
△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，
如图1，过点M在x轴的垂线，垂足为H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴

OM

MH

=

ON

OM

，
∴OM²=MH•ON，
设M（m，-

3

2

m），则MH=

3

2

m，OM²=

13

4

m²，而ON=-n，
∴

13

4

m²=

3

2

m×（-n），
即n=-

13

6

m①，
又

1

2

m²+n=-

3

2

m②，
由①②解得：
m=

4

3

，n=-

26

9

；

（3）由（1）可知，y=-

1

2

x²+mx-

1

2

m²-

3

2

m，
当点A（-4，2）在该抛物线上时，
-

1

2

×（-4）²-4m-

1

2

m²-

3

2

m=2，
整理得出：m²+11m+20=0，
解得：m=

-11± 41

2

，
∵在对称轴的左侧，∴m只能取

-11+ 41

2

，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
设直线BC的解析式为y=ax+b，
则

-4a+b=-3 -2a+b=2

，
解得：

a= 5 2 b=7

，
∴直线BC的解析式为：y=

5

2

x+7（-4≤x≤-2），
代入抛物线解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）²-4（m²+3m+14）=0，
解得：m=-

31

32

，
∴

-11+ 41

2

≤m≤-

31

32

．