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18.已知:如图,正方形ABCD的边长为6,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°,连接MC,NC,MN.   
(1)求证:BM•DN=36;    
(2)求∠MCN的度数.

分析 (1)只要证明△ADN∽△MBA得$\frac{AD}{BM}$=$\frac{DN}{AB}$即可证明.
(2)先证明△CBM∽△NDC可以推出∠DCN+∠BCM=135°,由此即可解决问题.

解答 (1)证明:∵BM,DN分别平分正方形的两个外角,
∴∠CDN=∠CBM=45°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=BC=CD,∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°,
∴∠ADN=∠ABN=135°,
∵∠NAM=45°,
∠BAM+∠DAN=45°,∵∠BAM+∠AMB=45°,
∴∠DAN=∠AMB,
∴△ADN∽△MBA,
∴$\frac{AD}{BM}$=$\frac{DN}{AB}$,
∴BM•DN=AB•AD=36.
(2)∵BM•DN=BC•DC,
∴$\frac{BC}{DN}$=$\frac{BM}{DC}$,∵∠CBM=∠CDN,
∴△CBM∽△NDC,
∴∠DCN=∠BMC,
∵∠BCM+∠BMC=135°,
∴∠BCM+∠DCN=135°,
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=135°.

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,属于中考常考题型.

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