Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）

A.①②③B.①③C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①连接CF,构造全等三角形,证明△ADF≌△CEF即可.

②通过①可得△DFE是等腰直角三角形,则斜边DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值.

③通过证明△ADF≌△CEF,进行等面积代换即可得出.

④通过结论③,换角度将四边形CDFE的面积分为△CDE与△DEF,令△DEF的面积最小即可.

①连接CF．

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，

∵AD＝CE，

∴△ADF≌△CEF，

∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，

∵∠AFD+∠CFD＝90°

∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

故本选项正确；

②∵△DEF是等腰直角三角形，

∴当DE最小时，DF也最小，

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝BC＝4，

∴DE＝DF＝，

故本选项错误；

③∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF＝S△ADF，

∴S四边形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC

故本选项正确；

④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，

S△CED＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，

故本选项正确；

综上所述正确的有①③④．

故选：C．