Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），点P是直线BCy=-x+6上的一动点：
（1）求B点和C点的坐标；
（2）求当点P运动到与y轴的距离是4时的△OPA的面积；
（3）在直线BC上是否存在点P，是S_△OBP=

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S_△OBC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据直线的解析式即可求得B、C的坐标；
（2）根据题意得出P的横坐标为±4，通过直线的解析式即可求得P的坐标，从而求得三角形的面积．
（3）根据已知求得P的横坐标为为3或-3，通过直线的解析式即可求得P的坐标．

解答：解：（1）由直线BCy=-x+6可知：B（0，6），C（6，0）；
（2）∵点P与y轴的距离是4，
∴P的横坐标为±4，
∵点P是直线BCy=-x+6上的一动点，
∴P（4，2）或（-4，10），
∵点A的坐标是（5，0），
∴△OPA的面积=

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×5×2=5或△OPA的面积=

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×5×10=25；
∴△OPA的面积为5或25．
（3）存在；
∵S_△OBC=

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×6×6=18，
∵S_△OBP=

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S_△OBC，
∴S_△OBP=

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×18=9，
∴

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2

×OB×|xP|=9，
∴|x_p|=3，
∴P的横坐标为3或-3，
代入直线BCy=-x+6得，y=3或9，
∴P的坐标为（3，3）或（-3，9）．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想．