Question

已知抛物线y=x²-2（a+b）x+c²，其中a，b，c分别是三角形ABD的三边．
①求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
②如图，设直线与抛物线交于E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线对称轴为直线x=2a，△MNE与△MNF面积之比为2：1，求证：△ABC为等腰直角三角形；
③在②的条件下，当S_△ABC=2时，设抛物线与x轴交于P、Q，问：是否存在过P、Q两点，且与Y轴相切的圆？若存在，求圆心的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

①证明：△=b²-4ac=[-2（a+b）]²-4×1×c²=4[（a+b）²-c²]，
∵a+b＞c（三角形任意两边之和大于第三边），
∴△＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；

②证明：抛物线对称轴为直线x=-=-=2a，
解得a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
直线与抛物线解析式联立得，，
即x²-2（a+b）x+c²=2ax-3ac，
整理得，x²-6ax+c²+3ac=0，
∵△MNE与△MNF面积之比为2：1，
∴点E到MN的距离等于点F到MN的距离的2倍，
即点E的横坐标是点F的横坐标的2倍，
设点F的横坐标是x，则点E的横坐标是2x，
∴x+2x=6a，
解得x=2a，2x=4a，
∴x•2x=2a•4a=c²+3ac，
整理得c²+3ac-8a²=0，
解得c=a，c=-4a（舍去），
∴a²+b²=2a²=c²，
∴△ABC为直角三角形，
故△ABC为等腰直角三角形；

③解：存在．
理由如下：S_△ABC=×a×b=×a×a=2，
∴a=b=2，
∴c=a=2，
∴抛物线解析式为y=x²-2（a+b）x+c²=x²-8x+8，
∴PQ===4，
∵圆与y轴相切，
∴半径r=2a=2×2=4，
∴弦心距==2，
∴存在过P、Q两点，且与y轴相切的圆，圆心（4，2）或（4，-2）．
分析：①列式求出根的判别式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出△＞0，即可判断与x轴有两个交点；
②先根据抛物线对称轴公式求出a=b，再根据△MNE与△MNF面积之比为2：1，可以求出点E的横坐标是点F的横坐标的2倍，直线与抛物线解析式联立得到关于x的方程，即方程的一个解是另一个解的2倍，从而求出方程的两个根，再根据根与系数的关系中的两根之积列式求出a与c的关系，然后根据勾股定理逆定理即可证明；
③根据三角形的面积求出a、b的长度，然后求出c的长度，从而得到抛物线解析式，然后求出PQ的长度，再根据圆与y轴相切求出圆的半径，然后根据圆的半径、弦的一半，利用勾股定理求出弦心距即可得到圆心的坐标．
点评：本题是二次函数综合题，考查了利用根的判别式求抛物线与x轴的交点个数，联立直线与抛物线解析式求函数图象的交点坐标之间的关系，函数图象上两点间的距离的求解，半径、弦心距、半弦长组成的三角形的计算，综合性较强，对同学们能力要求较高，仔细分析，认真计算也不难求解．