Question

17、如图，以锐角△ABC的边AB、AC向外作正方形APQB和正方形AEFC，连接PE，作AD⊥BC，垂足为D，延长DA交PE于点H．过P作PM⊥DM，垂足为M，过点E作EN⊥DM，垂足为N．
（1）不再增加线条或字母，在图中找出一对全等三角形，并给出证明；
（2）求证：PH=HE．

Answer 1

分析：（1）此题中，较明显的全等三角形是△BAD≌△APM，△DAC≌△NEA；以第一组全等三角形为例：由于四边形ABQP是正方形，可得两个条件：AP=AB，∠BAP=90°；由∠BAP=90°，易证得∠PAM=∠ABD，联立AP=AB和一组直角，即可得证，第二组全等三角形证法相同；
那么另一组全等三角形是：△PMH≌△ENH，思路：由上面的两组全等三角形得：PM=NE=AD；而∠PMH、∠ENH都是直角，且有一组对顶角相等，由AAS即可证得两个三角形全等．
（2）由（1）中得到的第三组全等三角形，即可得证．

解答：解：（1）有三组：△BAD≌△APM，△DAC≌△NEA，△PMH≌△ENH；任选一组即可；
以△BAD≌△APM为例进行说明；
证明：∵四边形ABQP是正方形，
∴AB=AP，∠PAB=90°；
∴∠PAM=∠ABD=90°-∠BAD，
又∵∠PMA=∠ADB=90°，
∴△BAD≌△APM；
（△DAC≌△NEA证法同上，△PMH≌△ENH如（2）．）

（2）由（1）的△BAD≌△APM，△DAC≌△NEA，得：PM=NE=AD；
∵∠PMH=∠ENH=90°，∠PHM=∠EHN，
∴△PMH≌△ENH，故PH=HE．

点评：此题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，难度适中．