Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数图象经过A（1，-2）、B（3，-2）和C（0，1）三点，顶点为P；
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P的坐标；
（2）连接PC、BC，求∠BCP的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点Q，使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A、B、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；进而可用配方法求出其顶点坐标；
（2）根据B、C、P三点的坐标，即可求出BC、BP、PC的长，此时发现△BPC是直角三角形，且∠CBP=90°，由此可求出∠BCP的正切值；
（3）由于△BPC是直角三角形，若以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似，那么△QCA也必须是直角三角形；因此需分三种情况进行讨论；
①∠QCA=∠CBP=90°，此时△QCA∽△PBA或△QCA∽△CBP；
②∠CQA=90°，此时△CQA∽△PBC；
③∠QPC=90°，此时△QPC∽△CBP；（△QPC∽△PBC时，Q位于第四象限，此种情况不考虑）．

解答：解：（1）因为y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（1，-2），B（3，-2），C（0，1）三点，
则：

a+b+c=-2 9a+3b+c=-2 c=1

，
解得

a=1 b=-4 c=1

；
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+1=（x-2）²-3；
∴顶点P的坐标为（2，-3）；

（2）∵B（3，-2），C（0，1），P（2，-3）；
∴BP²=2，BC²=18，CP²=20，
即BP²+BC²=CP²；
故△BCP是直角三角形，且∠CBP=90°；
∴tan∠BCP=

BP

BC

=

1

3

；

（3）此题分三种情况讨论：如图；
①∠QCA=90°，则△QCA∽△PBC或△QCA∽△CBP；
得CQ：CA=1：3或CQ：CA=3：1；
过Q作QE⊥y轴于E，则△QEC∽△CGA；
∵QC：CA=3：1，
∴QE=3CG=9，CE=3AG=3，即OE=4；
∴Q（9，4），
同理可求得Q′（1，

4

3

）；
②∠CQA=90°，可过A作直线AF∥y轴，交x轴于F，过C作CQ⊥AF于Q，
此时AQ：CQ=BP：BC=1：3，
又因为∠CQA=∠CBP=90°，
则△CQA∽△PBC；
∴Q（1，1）；
③∠QAC=90°，由于Q在第一象限，此时只有一种情况：△QAC∽△CBP，
得：QA：AC=3：1，
即AQ=3AC=3

10

；
易证得∠CAQ=∠AFH=∠QHM，
所以tan∠AHF=tan∠QHM=

1

3

；
即FH=3AF=6，则AH=2

10

，QH=AQ-AH=

10

；
∵HM=3QM，则QM=1，HM=3；
∴Q（10，1）；
综上可知：存在符合条件的Q点，且坐标为Q（9，4），（1，

4

3

），（1，1）或（10，1）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等；要特别注意（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下要分类讨论，以免漏解．