【题目】如图,一次函数y=mx+2m+3的图像与y=-x的图像交于点C,且点C的横坐标为-3,与x轴、y轴分别交于点A、点B.
(1)求m的值与AB的长;
(2)若点D(9,0),连结BD,求证△ABD为直角三角形.
(3)在y轴上是否存在点P,使得△ABP为等腰三角形,若存在请求出P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)m=;;(2)见解析;(3)存在,(6-,0)或(6+,0)或(0,﹣6)或(0,).
【解析】
(1)先求出C点坐标,然后将C点坐标代入一次函数解析式中,即可求出m,然后分别求出A、B两点坐标,根据勾股定理即可求出AB的长;
(2)先计算出AD的长,然后根据勾股定理求出BD,再根据勾股定理的逆定理,即可证出△ABD为直角三角形;
(3)根据等腰三角形的腰的情况分类讨论,然后分别求出点P的坐标即可.
解:(1)将x=-3代入y=-x中得:y=
∴C点坐标为:(-3,)
将C点坐标代入y=mx+2m+3中,得:=-3m+2m+3
解得:m=
∴一次函数的解析式为:y=x+6
当x=0时,y=6,当y=0时,x=﹣4
∴B点坐标为(0,6),点A的坐标为(﹣4,0)
∴OB=6,OA=4
根据勾股定理:AB=;
(2)∵点A的坐标为(﹣4,0),点D点坐标为(9,0)
∴AD=9-(﹣4)=13
根据勾股定理:BD=
∵AB2+BD2=169,AD2=169
∴AB2+BD2= AD2
∴△ABD为直角三角形
(3)存在,
①若BP=BA时
如下图所示,此时也有两种情况,
∵AB=,点B的坐标为(0,6)
∴P1的坐标为(6-,0),P2的坐标为(6+,0);
②若AB=AP时,如下图所示:
∵AO⊥BP
∴BO=OP
∴此时点P的坐标为(0,﹣6);
③若BP=AP时,如下图所示
设OP=x,则PB=PA=6-x
根据勾股定理:
即:
解得:
此时P点坐标为(0,)
综上所述:P点坐标为:(6-,0)或(6+,0)或(0,﹣6)或(0,).
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【题目】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与函数y=x-的图象如图所示,则下列结论:①ab>0;②c>-;③a+b+c<-;④方程ax2+(b-1)x+c+=0有两个不相等的实数根.其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时默写50首古诗词,若每正确默写出一首古诗词得2分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
(1)①频数分布表中a的值为;②若测试成绩不低于80分为优秀,则本次测试的优秀率是;③将频数分布直方图补充完整;
(2)第5组10名同学中,有4名男同学(用A,B,C,D表示),现将这4名同学分成两组(每组2人)进行对抗练习,求A与B两名男同学能分在同一组的概率.
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 50≤x<60 | 6 |
第2组 | 60≤x<70 | 8 |
第3组 | 70≤x<80 | 14 |
第4组 | 80≤x<90 | a |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,12),B(-5,0),连接AB.将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则点C的坐标为___________________________.
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【题目】如图所示的网格中,△ABC的顶点A的坐标为(1,1)
⑴建立平面直角坐标系,画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;并分别写出点B1的坐标是 、点C1的坐标是
⑵①借助图中的网格,请只用直尺(无刻度)在图中找一点P,使得P到AB、AC的距离相等,且使PA=PB.
②若动点Q在y轴上,使得△QAC的周长最小,则△QAC的最小周长= .(友情提醒:别忘标注宇母)
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【题目】下列结论:①若三角形一边上的中线和这边上的高重合,则这个三角形是等腰三角形;②三边分别为的三角形是直角三角形;③大于-而小于的所有整数的和为-4 ;④若一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是5;其中正确的结论是______________(填序号);
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【题目】如图,在△ACD和△BCE中, AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD与BE相交于点P,则∠BPD的度数为( )
A.110°B.125°C.130°D.155°
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【题目】已知如图等腰,,,于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,,下面的结论:;是等边三角形;;其中正确的是
A. B. C. D.
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