Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．
（1）求证：△ACE∽△BFC；
（2）试探究AF、BE、EF之间有何数量关系？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得出∠A=∠B=45°，再证得∠CFB=∠ACE，即可得出△ACE∽△BFC；
（2）将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，由旋转的性质得出CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，证得∠DCE=∠2，由SAS可证△ECF≌△ECD，得出EF=DE，证得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CFB=∠ACF+∠A=∠ACF+45°，
∠ACE=∠ACF+∠ECF=∠ACF+45°，
∴∠CFB=∠ACE，
∴△ACE∽△BFC；
（2）解：EF²=AF²+BE²，理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，如图所示：
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2，
在△ECF和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠2=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE，
∵∠5=45°，
∴∠EBD=90°，
∴DE²=BD²+BE²，
即EF²=AF²+BE²．

点评 本题是相似形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定、旋转的性质等知识；综合性较强，有一定的难度．