Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AE-ED-DB运动，到点B停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动，在DB上以每秒个单位的速度运动. 过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN，使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，求正方形PQMN的顶点N落在AB边上时对应的的值；
（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出S与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
（3）当正方形PQMN顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形
P₁ Q M₁ N₁，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若
存在，请求出EG的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）t="2s" （2） （3）在直线DE与直线AC上存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形，

试题分析：（1）当点P在AE上时， 由△APN∽△ACB得
∴       ∴t=2s         
当点P在ED上时，PN="3" ，∴AE+EP=3+6-3=6  ∴t=6s   
（2） 
（3）在直线DE与直线AC上存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形. 理由如下：
过P₁作P₁S⊥AC于S, P₁R⊥DE于R,

分别是图1 2 3 4
∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，
∴P₁S=RE=, QS
∴P₁R=SE=.
当∠P₁GH=90°时,
可证△P₁RG≌△GEH，则EG= P₁R= 
当∠P₁HG=90°时, （如图3、4）
可证△P₁SH≌△HEG，
∴EH=P₁S=，EG=SH,
点评：本题考查相似三角形，全等三角形，函数关系式，解答本题需要掌握相似三角形，全等三角形的判定方法，并会证明