Question

14．已知：如图，矩形OABC，OA=6，AB=4，D是BC的中点．动点P从O 点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒．
（1）用含有t的代数式表示△POD的面积S，并求出△POD的面积等于9时t的值；
（2）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转90度时，点C能恰好落到AB边上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在P点的运动过程中，当t取何值时，△POC为等腰三角形（直接写答案）；
（4）当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时t的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三种情况求解：当0＜t≤6，如图1，OP=t，根据三角形面积公式得S=2t，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当6＜t≤10，如图2，则AP=t-6，BP=10-t，利用S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD得到S=-$\frac{3}{2}$t+21，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当10＜t＜13，如图3，则PB=13-t，根据三角形的面积公式求解；
（2）存在．如图4，由△COP≌△PAE，可知PA=CO=4，OP=AE=2，AE=EB，由此即可解决问题．
（3）分三种情形考虑问题即可．①P在OA上，②P在AB上，③P在BC上．
（4）如图5中，作点O关于AB所在直线对称的点的坐标后连接点O的对称点和点D与AB的交点即为点P，由DB∥AO′，$\frac{DB}{AO′}$=$\frac{PB}{AP}$，列出方程求出PA即可．

解答 解：（1））∵矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
当点P在OA上运动时，即0＜t≤6，如图1，

OP=t，S=$\frac{1}{2}$•t•4=2t；

∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
当点P在AB上运动时，即6＜t≤10，如图2

，AP=t-6，BP=10-t，S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD
=4×6-$\frac{1}{2}$•4×3-$\frac{1}{2}$•6•（t-6）-$\frac{1}{2}$•3•（10-t）
=-$\frac{3}{2}$t+21；
∵S=9，
∴-$\frac{3}{2}$t+21=9，解得t=8，
当点P在BD上运动时，即10＜t＜13，如图3，

PB=13-t，S=$\frac{1}{2}$•（13-t）•4=-2t+26；
∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合题意舍去）；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2t}&{（0＜t≤6）}\\{-\frac{3}{2}t+21}&{（6＜t≤10）}\\{-2t+26}&{（10＜t＜13）}\end{array}\right.$，当t=4.5s或8s时，△POD的面积等于9．

（2）存在．如图4，

由△COP≌△PAE，可知PA=CO=4，
∴OP=AE=2，
∴AE=EB，
∴当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处．

（3）①当P在OA上时，OP=OC=4，t=4s．
②当P在AB上时，PC=PC，t=6+2=8s．
③当P在BC上时，CO=CP，t=6+4+2=12s．
综上所述，t=4s或8s或12s时，△POC是等腰三角形．

（4）如图5中，点O关于直线AB的对称点的坐标为O′，连接O′D交AB于点P，此时PD+PO最短；

∵DB∥AO′，
∴$\frac{DB}{AO′}$=$\frac{PB}{AP}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{4-PA}{PA}$，
∴PA=$\frac{8}{3}$，
∴t=6+$\frac{8}{3}$=$\frac{26}{3}$．

点评 本题考查了四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质；会利用勾股定理和三角形的面积公式进行几何计算；理解坐标与图形的性质；学会解决有关动点的问题，属于中考压轴题．