Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4.5cm．D是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E．设AD＝xcm，CE＝ycm．（当点D与点A或点B重合时，y的值为5.2）

探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	5.2	4.8	4.4	4.0	3.8	3.6	3.5	3.6		5.2

（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝2AD时，AD的长度约为　 　cm（结果保留一位小数）．

Answer 1

【答案】（1）4.0；（2）见解析；（3）1.9．

【解析】

（1）如图，作辅助线：过E作EF⊥AB于F，证明△EFD∽△DBC，列比例式可得结论；

（2）描点画图即可；

（3）根据△EFD∽△DBC，列比例式，解方程可得结论．

解：（1）如图1，过E作EF⊥AB于F，

由表格可知：AC＝5.2，AB＝4.5，

Rt△ACB中，∠A＝30°，

∴BC＝AC＝2.6，

当x＝4时，即AD＝4，

∴BD＝0.5，

∵∠EDC＝90°，

易得△EFD∽△DBC，

∴＝＝，

设EF＝5a，FD＝26a，则AE＝10a，AF＝5a，

∵AD＝4，

∴5a+26a＝4，

a＝，

∴y＝AC﹣AE＝5.2﹣10×＝5.2﹣≈4.0；

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	5.2	4.8	4.4	4.0	3.8	3.6	3.5	3.6	4.0	5.2

故答案为：4.0；

（2）如图2所示：

（3）设EF＝a，则AE＝2a，AF＝a，

由（1）知：△EFD∽△DBC，

∴ ，即＝，

∵AC＝2a+y＝5.2，

当CE＝2AD时，y＝2x，则2a+2x＝5.2，即a+x＝2.6，

∴a＝2.6﹣x，

∴2.6（2.6﹣x）＝（4.5﹣x）[x﹣（2.6﹣x）]，

整理得：2.73x2﹣19.383x+27.001＝0，

解得：x1≈5.2（舍），x2≈1.9，

故AD的长度约为1.9cm.