Question

如图，二次函数y=x²+bx+c图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，△MAB为直角三角形，图象的对称轴为直线x=-2，点P是抛物线上位于A，C两点之间的一个动点，则△PAC的面积的最大值为（　　）

A． 27 4

B． 11 2

C． 27 8

D．3

Answer 1

∵x=-

b

2a

=-2，且a=1，∴b=4；
则，抛物线：y=x²+4x+c；
∴AB=x_B-x_A=

(xA+xB)2-4xAxB

=

16-4c

=2

4-c

，点M（-2，c-4）；
∵抛物线是轴对称图形，且△MAB是直角三角形，
∴△MAB必为等腰直角三角形，则有：AB=2

4-c

=2|c-4|，
解得：c=3；
∴抛物线：y=x²+4x+3，且A（-3，0）、B（-1，0）、C（0，3）．
过点P作直线PQ∥y轴，交直线AC于点Q，如右图；
设点P（x，x²+4x+3），由A（-3，0）、C（0，3）易知，直线AC：y=x+3；
则：点Q（x，x+3），PQ=（x+3）-（x²+4x+3）=-x²-3x；
S_△PAC=

1

2

PQ×OA=

1

2

×（-x²-3x）×3=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴△PAC有最大面积，且值为

27

8

；
故选C．