Question

如图，点C在线段AB上，△AMC和△CBN都是等边三角形，求证：
（1）；
（2）MD•EB=ME•DC．

Answer 1

证明：（1）∵△AMC和△CBN都是等边三角形，
∴∠MAC=∠NCB=60°，
∴AM∥CN，
∴△ADM∽△NDC，
∴；

（2）∵△AMC和△CBN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，CN=CB，
即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴∠CAD=∠CME，
∵∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠MCE=60°，
在△ACD和△MCE中，
，
∴△ACD≌△MCE（AAS），
∴AD=ME，
同理：△NDC≌△BEC，
∴BE=ND，
∵△ADM∽△NDC，
∴，
∴MD•ND=AD•DC，
∴MD•EB=ME•DC．
分析：（1）由△AMC和△CBN都是等边三角形，易证得AM∥CN，即可得△ADM∽△NDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得；
（2）易证得△ACN≌△MCB，继而可证得△ACD≌△MCE与△NDC≌△BEC，根据全等三角形的对应边相等，可得AD=ME与BE=ND，又由（1）△ADM∽△NDC，即可得，继而可证得MD•EB=ME•DC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质的应用；注意数形结合思想的应用．