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如图1,已知直线与抛物线交于两点.

(1)求两点的坐标;

(2)求线段的垂直平分线的解析式;

(3)如图2,取与线段等长的一根橡皮筋,端点分别固定在两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动,动点将与构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.

答案:

解:(1)依题意得,解;或,∴A(6,-3),B(-4,2),

(2)作AB的垂直平分线交轴,轴于C,D两点,交AB于M.

由(1)可知:OA=、OB=

∴AB=。∴

过B作BE⊥轴,E为垂足。

由△BEO∽OMC,得:

,同理:,∴

设CD的解析式为

∴AB的垂直平分线的解析式为:

 (3)若存在点P使△APB的面积最大,则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上,并设该直线与轴,轴交于G、H两点。

∵抛物线与直线只有一个交点,(可用转换)

,∴。∴

在直线GH:中,

。设O到GH的距离为

∵AB∥GH,∴P到AB的距离等于O到GH的距离

                



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10
10
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